પ્રસારમાન

 

પ્રસ્તાવના

       કોઈપણ સંશોધન માટે સૌ પ્રથમ માહિતીનું એકત્રીકરણ કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ ચલ લક્ષણો મુજબ તેનું વર્ગીકરણ કરી આવૃત્તિ વિતરણોની રચના કરવામાં આવે છે આ માહિતીની સરખામણી કરવા માટે મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના માપનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે પરંતુ દરેક સંજોગોમાં મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના માપથી કરેલી સરખામણી સાચું પરિણામ આપતી નથી.

પ્રસારમાનનો અર્થ : (Meaning of Dispersion) :

     પ્રસાર એટલે પ્રાપ્તાંકોનો ફેલાવો

       માહિતીના અવલોકનો તેની મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના માપથી કેટલા દૂર સુધી ફેલાયેલા છે તે દર્શાવતા માપને પ્રસારમાન કહે છે. માહિતીનો ફેલાવો દર્શાવતું માપ એટલે પ્રસારમાન.

       જો માહિતીના અવલોકનો સરેરાશથી નજીક હોય તો માહિતીમાં પ્રસાર ઓછો છે. જયારે અવલોકનો સરેરાશથી દૂર હોય તો પ્રસાર વધુ છે તેમ કહેવાય. માહિતીનો પ્રસાર જેમ ઓછો તેમ માહિતીના પ્રાપ્તાંકો વધુ સ્થિર કે વિશ્વસનીય તથા પસાર જેમ વધુ તેમ પ્રાપ્તાંકો વધુ અસ્થિર કે અવિશ્વસનીય ગણાય.

       ‘પ્રસારમાન’ એ માત્ર સમષ્ટિનાં અવલોકનોના ચલન વિશેનો સામાન્ય ખ્યાલ દર્શાવે છે એવું નથી પરંતુ તે ચલન વિશેનું ચોક્કસ માપ પણ દર્શાવે છે. જુદા જુદા આંકડાશાસ્ત્રીઓએ પ્રસારમાનની વ્યાખ્યાઓ જણાવી છે તેમાંથી સ્પિગલ (Spiegel)એ આપેલી વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે.

       “માહિતીના સરેરાશ માપની આસપાસ તેનાં અવલોકનો કેટલા પ્રમાણમાં ફેલાયેલા છે તે દર્શાવતું મૂલ્ય એટલે ચલન અથવા પ્રસારમાન.”

પ્રસારમાનના ઉપયોગો :

1.       કોઈ એક જૂથના કાર્યનો ખ્યાલ મેળવવા ઉપયોગી છે.

2.      બે જૂથોના કાર્યની સરખામણી કરવા માટે ઉપયોગી છે.

3.       સરેરાશ સમગ્ર શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કેટલે અંશે ધરાવે છે તે પ્રસારમાનના માપ વડે જાણી શકાય છે.

4.      શ્રેણીમાં રહેલ ચલનની માત્રા, તે માટેના કારણો તપાસવા અને તેના પર નિયત્રણ મેળવવા પ્રસારમાન ઉપયોગી છે.

5.       પ્રસારમાનના માપ વડે બે કે તેથી વધુ શ્રેણીઓની સ્થિરતા કે સુસંગતતાનો અભ્યાસ કરી શકાય છે.

પ્રસારમનનાં કેટલાંક ઈચ્છનીય લક્ષણો :  

1.       પ્રસારમાનની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ અને ચોક્કસ હોવી જોઈએ.

2.      તેની ગણતરી સહેલી અને સમજવામાં સરળ હોવી જોઈએ.

3.       તેની ગણતરીમાં માહિતીના બધા જ અવલોકનોનો ઉપયોગ થવો જોઈએ.

4.      તે બૈજિક ક્રિયાઓ તથા આંકડાશાસ્ત્રીય ગણતરીઓ માટે અનુકૂળ હોવું જોઈએ.

5.       તે નિદર્શનના સાપેક્ષમાં સ્થિર માપ હોવું જોઈએ. એટલે કે એક જ સમષ્ટિમાંથી સમાન કદનાં જુદાં જુદાં નિદર્શો લેવામાં આવે તો તેમાંથી મળતું પ્રસારનું માપ લગભગ સરખું મળવું જોઈએ.

6.      તેની કિંમત પર માહિતીનાં અતિ મોટા અવલોકનોની અસર ઓછી હોવી જોઈએ.

પ્રસારમાનના માપો : (Measures of Dispersion) :

પ્રસરમાનનાં માપોનો અભ્યાસ બે રીતે કરવામાં આવે છે.

(૧) નિરપેક્ષ પ્રસારનાં માપો (Absolute Dispersion)

(૨) સાપેક્ષ પ્રસારનાં માપો (Relative Dispersion)

F નિરપેક્ષ પ્રસારનાં માપો : નિરપેક્ષ પ્રસારમાં માપ તેના એકમથી સ્વતંત્ર હોતું નથી. એટલે કે માહિતી જે એકમમાં હોય તેનો પ્રસાર તે જ એકમમાં મળે દા.ત. વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ સે.મી. માં જ મળે. ટૂંકમાં, નિરપેક્ષ પ્રસારથી એવી જ માહિતીની સરખામણી થઈ શકે જે સમાન એકમ ધરાવતી હોય, નિરપેક્ષ પ્રસારના માપો નીચે મુજબ છે.

1.     વિસ્તાર

2.    ચતુર્થક વિચલન (પાદસ્થ વિચલન)

3.     સરેરાશ વિચલન

4.    પ્રમાણિત વિચલન/પ્રમાણ  

F સાપેક્ષ પ્રસારનાં માપો : સાપેક્ષ પ્રસારમાં માપ તેના એકમથી સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી જુદા જુદા એકમોવાળી માહિતીની સરખામણી સાપેક્ષ પ્રસારના માપોથી થઈ શકે છે. તેને પ્રસારાંક (Coefficient Dispersion) કહે છે.  જે નીચે મુજબ છે.

1.     વિસ્તારાંક (સાપેક્ષ વિસ્તાર)

2.    ચતુર્થક (પાદસ્થ) વિચલનાંક

3.     સરેરાશ વિચલનાંક

4.    ચલનાંક (પ્રમાણ વિચલનાંક)

નિરપેક્ષ પ્રસારમાનના માપો :

૨. વિસ્તાર (Range) :

વિસ્તારનો અર્થ :

     સૌથી મોટા પ્રાપ્તાંક અને અને સૌથી નાના પ્રાપ્તાંક વચ્ચેના તફાવતને વિસ્તાર કહે છે.

વિસ્તારના ઉપયોગો :

1.       પ્રસારનું સૌથી ઝડપથી શોધી શકાતું માપ છે.

2.      વિસ્તાર એ પ્રસારનું સૌથી સરળ માપ છે.

3.       બે કે વધારે સમૂહોની ઉપરછલ્લી તુલના કરવા ઉપયોગી છે.

4.      બહુ જ થોડા પ્રાપ્તાંકો હોય અને અનિયમિત રીતે ફેલાયેલા હોય ત્યારે ઉપયોગી બને છે.

વિસ્તારની મર્યાદાઓ :

1.       સરાસરીને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી.

2.      વિસ્તારમાં સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા પ્રાપ્તાંકનો ઉપયોગ થતો હોવાથી આ માપ ઓછું વિશ્વસનીય અને પ્રમાણભૂત છે.

દા.ત. પ્રથમ પાંચ સંખ્યાઓમાં મહત્તમ અવલોકન 5 છે જયારે લઘુત્તમ અવલોકન 1 છે તો આ માહિતીનો વિસ્તાર = મહત્તમ પ્રાપ્તાંક – લઘુત્તમ પ્રાપ્તાંક = 5 – 1 = 4 જવાબ મળે.

       આપેલી માહિતીમાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ અવલોકનોના તફાવતને માહિતીનો વિસ્તાર કહે છે. તેને સંકેતમાં R વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

વિસ્તારનું સાપેક્ષ માપ વિસ્તરાંક – તે શોધવાનું સૂત્ર -  /  +

જ્યાં,  = મહત્તમ પ્રાપ્તાંક (Higher Score)

        = લઘુત્તમ પ્રાપ્તાંક (Lower – Score)

માટે ઉપરની શ્રેણીનો વિસ્તરાંક =5-1/5+1=4/6=2x2/૩x2 = 2/3=0.67.

૨. સરાસરી વિચલન : (MEAN DEVIATION) :

અર્થ : આપેલીના માહિતીના પ્રાપ્તાંકોનાં તેના મધ્યકમાંથી લીધેલા ધન વિચલનોના તફાવતને સરાસરી વિચલન કહે છે. અહીં ધન વિચલન લેવા માટે પ્રાપ્તાંકોના માનાંકમાં | | મૂકવાની જરૂર પડે છે. માનાંક છોડતા હંમેશા ધન સંખ્યા મળે છે.

અવર્ગીકૃત માહિતી માટે સરાસરી વિચલન :

ઉદા. 1 30,25,15,20,38,22,11 પ્રાપ્તાંકોનું સરાસરી વિચલન શોધો.

અહીં મધ્યક  30+25+15+20+38+22+11/7 = 161/7 = 23

હવે વિચલન di=| xi-x}= |30-23|=7, |25-23|=2, |15-23|=+8, |20-23|=+3, |39-23|=15, |22-23|=+1, |11-23|=+12

માટે =7+2+8+3+15+1+12=48

માટે, સરાસરી વિચલન (M.D.)=

પ્રાપ્તાંક વર્ગ	આવૃત્તિ fi	વર્ગનીમ. (xi)	di=xi-A/i	fidi	|xi-x|	fi |xi-x]
3-7	2	5	-3	-6	13.12	26.84
8-12	5	10	-2	-10	8.12	40.60
13-17	9	15	-1	-9	3.12	28.08
18-22	15	20	0	0	1.88	29.20
23-27	8	25	1	8	6.88	55.04
28-32	1	30	2	2	11.88	11.88
	n=40

                                                         

મધ્યક :                                                                     સરાસરી વિચલન :

X=A+                                                                                  M.D =

   = 20+-15/40x5                                                                          = 190.04/40

   = 20-15/8                                                                                 = 4.75

   = 20-1.88

સરાસરી વિચલનનું સાપેક્ષ માપ

(સરેરાશ વિચલનાંક) = ઠx/x = 4.75/18.12=0.262

સરાસરી વિચલનના ઉપયોગો :

૧. ગણતરીમાં બધા જ અવલોકનોનો ઉપયોગ થાય છે.

૨. તેની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ અને ચોક્કસ છે.

૩. વિસ્તાર અને ચતુર્થકના પ્રમાણમાં આ માપ વધુ વિશ્વસનીય છે.

૪. સમાજશાસ્ત્રીય સમસ્યાઓના અભ્યાસમાં ઉપયોગી છે.

સરાસરી વિચલનના દોષો :

૧. માનાંક દ્વારા ચિન્હોની અવગણના વ્યાવહારિક નથી.

૨. પ્રસારના માપ તરીકે ઓછું પ્રચલિત છે.

૩. બેજિક પ્રક્રિયાઓ

પ્રમાણ વિચલન : (STANDARD DEVIATION S.D )

અર્થ :

     આપેલી શ્રેણીમાં પ્રાપ્તાંકોને તેના મધ્યકમાંથી લીધેલા વિચલોના વર્ગોના સરવાળાને પ્રાપ્તાંકોની સંખ્યા વડે ભાગી તેનું ધન વર્ગમૂળ લેતાં માપને પ્રમાણ વિચલન કહે છે. અવર્ગીકૃત માહિતી માટે પ્રમાણ વિચલન શોધવું.

ઉદા. 1 30, 25, 15, 20, 38, 22, 11 પ્રાપ્તાંકોનું પ્રમાણ વિચલન શોધો.

અહીં મધ્યક =  30+25+15+20+38+22+11/7 = 161/7 = 23

 હવે વિચલન di= |xi-x| = |30-23| =7, |25-23|=2, |15-23|=+8, |20-23|=+3, |38-23|=15, |22-23|=+1, |11-23|=+12

           di = |xi-x| 2 = 49+4+64+9+225+1+144 =

માટે : S.D                     =

પ્રાપ્તાંક વર્ગ	આવૃત્તિ fi	વર્ગનીમ. (xi)	di=xi-A/i	fidi	fidi2
3-7	2	5	-3	-6	18
8-12	5	10	-2	-10	20
13-17	9	15	-1	-9	9
18-22	15	20	0	0	0
23-27	8	25	1	8	8
28-32	1	30	2	2	4
	n=40

 મધ્યક :

X = A+

   = 20+-15/40x5

   = 20-15/8

   = 20-1.88

   = 18.12

પ્રમાણ વિચલન : 1.15x5=5.8

પ્રમાણ વિચલનનું સાપેક્ષ માપ : = (ચલનાંક) = SD/મધ્યક x 100 = 5.8/18.12 x 100 = 0.32 x 100 =32

પ્રમાણ વિચલનના ઉપયોગો/ગુણ

૧. સૌથી વધુ સ્થિર અને આધારક્ષમ સાંખ્યિકીથી પ્રાપ્તાંકોની ચલિતતા જાણવા માટે ઉપયોગી છે.

૨. છેડા પરના વિચલનોની ચલિતતા ઉપર વધુ મોટી અસર જોઈતી હોય ત્યારે ઉપયોગી છે.

૩. ચલિતતાનું સૌથી આધારભૂત માપ છે.

૪. નિદર્શની વધઘટથી અસર તેના પર ખાસ થતી નથી.

૫. તેની ગણતરીમાં બધા જ પ્રાપ્તાંકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

૬. તેની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ અને ચોક્કસ છે.

૭. સહસંબંધ, નિયતસંબંધ, વિષમતા, વિચલનનું પૃથક્કરણ વગેરેના અભ્યાસ માટે ઉપયોગી.

૮. પ્રમાણ વિચલન ફક્ત માધ્ય્કને આધારે શોધાતું હોય તેના જવાબોમાં એકસૂત્રતા જળવાય છે.

પ્રમાણ વિચલનની મર્યાદાઓ :

૧. તેની ગણતરી અન્ય પ્રસરનાં માપોની સરખામણીમાં કઠીન છે.

૨. આ માપ સામાન્ય આંકડાશાસ્ત્ર જાણનારને સમજવું મુશ્કેલ બને છે.

૩. આ માપ પર અંતિમ પ્રાપ્તાંકોને વધુ પડતું મહત્વ મળે છે.

૪. જયારે મધ્યકની નજીકના અવલોકનને ઓછું મહત્વ મળે છે.